Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，即可求实数a，b的值；
（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；
（3）求导数，确定f（x）的极小值，对一切实数a∈（0，1），利用配方法，即可求f（x）的极小值的最大值．

解答：解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴f(x)=

5

3

x3-3x2+x-

1

3

∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15．          …（4分）
（2）①若a=0，f(x)=-

1

2

x2+x-

1

3

=-

1

2

(x-1)2+

1

6

，
∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．                     …（6分）
②若a＜0，则f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，x∈R，
令f′（x）＜0，得(x-

1

a

)(x-1)＞0．∴x＜

1

a

，或x＞1．    …（9分）
∴f（x）的单调减区间为(-∞，

1

a

)，（1，+∞）．             …（10分）
（3）f′(x)=a(x-1)(x-

1

a

)，0＜a＜1，
列表：

x	（-∞，1）	1	（1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（12分）
∴f（x） 的极小值为f(

1

a

)=

a

3

•

1

a3

-

1

2

(a+1)

1

a2

+

1

a

-

1

3

=-

1

6

•

1

a2

+

1

2

•

1

a

-

1

3

=-

1

6

(

1

a

-

3

2

)2+

1

24

．                 …（14分）
当a=

2

3

时，函数f（x）的极小值f（

1

a

）取得最大值为

1

24

．   …（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数得到单调性，考查函数的极值，属于中档题．