Question

在直角坐标系xOy中，若直线l₁：y=kx+1沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移

3

个单位，回到原来的位置，直线l₂过（4，0）且与l₁垂直，以O为圆心的圆O与直线l₂相切
（1）求圆O方程；
（2）圆O与x轴交于A，B两点，P为圆内一动点，P关于x轴的对称点为Q，且|PQ|²，|PO|²，|OA|²成等差数列，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定直线l₁的斜率，从而可得线l₂的方程，利用圆O与直线l₂相切，求出圆的半径，可得圆的方程；
（2）确定P的轨迹方程，利用向量数量积公式求出数量积，从而可求

PA

•

PB

的取值范围．

解答：解：（1）直线l₁：y=kx+1沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移

3

个单位，可得y=kx+1+k+

3

∵回到原来的位置，∴k=-

3

∵直线l₂过（4，0）且与l₁垂直，∴直线l₂的方程为y=

3

3

（x-4），即x-

3

y-4=0
∵圆O与直线l₂相切，∴r=

4

1+3

=2，∴圆O方程为x²+y²=4；
（2）不妨设A（-2，0），B（2，0），P（x，y）
∵|PQ|²，|PO|²，|OA|²成等差数列，
∴2|PO|²=|PQ|²+|OA|²，
∴4y²+4=2（x²+y²），即x²-y²=2
∴

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）
∵P为圆内一动点，∴

x2+y2＜4 x2-y2=2

，∴0≤y²＜1，∴-2≤2（y²-1）＜0
∴

PA

•

PB

的取值范围为[-2，0）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查轨迹方程的求解，属于中档题．