Question

如图，在正方体中，O是下底面的中心，B′H⊥D′O，H为垂足，求证：
（1）A′C′∥平面ABCD；
（2）AC⊥平面BB′D′D
（3）B′H⊥平面AD′C．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方体的性质、平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用正方体的性质和线面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用线面垂直的判定和性质定理即可证明．
解答：证明：（1）由正方体可得，∴四边形ACC^′A^′是平行四边形，∴A^′C^′∥AC．
∵AC?ABCD，A^′C^′?平面ABCD．
∴A′C′∥平面ABCD；
（2）由正方体的性质可得BB^′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC．
由正方形ABCD可得AC⊥BD，
∵BD∩BB^′=B．
∴AC⊥平面BB′D′D．
（3）由（2）可得：AC⊥平面BB′D′D，
∴AC⊥B^′H．
又B^′H⊥D^′O．AC∩OD^′=O，
∴B′H⊥平面AD′C．
点评：熟练掌握正方体和正方形的性质、线面垂直与平行的判定和性质定理是解题的关键．