精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2+bx
(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),曲线C在点P处的切线与直线2x-y+3=0平行,求a,b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-
7
3
x]
(m为实常数,m≠±1)的极大值与极小值之差.
分析:(1)曲线在P(1,2)处的切线与2x-y+3=0平行等价于函数在该点的导数为2,f(1)=2,代入可求a,b
(2)由(1)知g(x)=
m2 -1
3
x3
-
2m2-2
3
x2
,g′(x)=(m2-1)x2-
4m2-4
3
x=(m2 -1)(x-
4
3
)x,分类讨论:分m2>1时,m2<1时两种情况讨论,g(x)的单调性,进而可求g(x)的极小值.
解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=
1
3
x3+ax2+bx
(a,b∈R),
∴f′(x)=x2+2ax+b,
∴f′(1)=1+2a+b,
∵曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),曲线C在点P处的切线与直线2x-y+3=0平行,
1
3
+a+b=2
1+2a+b=2

解得a=-
2
3
,b=
7
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
1
3
x3-
2
3
x2+
7
3
x

g(x)=(m2-1)[f(x)-
7
3
x]
=
m2 -1
3
x3
-
2m2-2
3
x2

∴g′(x)=(m2-1)x2-
4m2-4
3
x=(m2 -1)(x-
4
3
)x,
当m2>1时,g(x)在(-∞,0),(
4
3
,+∞)上递增,在(0,
4
3
)上递减,
∴g(x)的极小值为g(
4
3
)=
m2-1
3
64
27
-
96
27
)=-
32(m2-1)
81

g(x)的极大值为g(0)=0.
∴函数g(x)的极大值与极小值之差为
32(m2-1)
81

当m2<1时,g(x)在(-∞,0),(
4
3
,+∞)上递减,在(0,
4
3
)上递增,
∴g(x)的极小值为g(
4
3
)=
m2-1
3
64
27
-
96
27
)=-
32(m2-1)
81

g(x)的极大值为g(0)=0.
∴函数g(x)的极大值与极小值之差为-
32(m2-1)
81
点评:本题考查函数的极值与导数之间的关系,考查函数有极值的条件,考查学生的转化与化归思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案