Question

15．对于函数若f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），存在实数x₀，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的“希望值”．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的希望值；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有希望值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x为希望值，则有2x²-x-4=x，变形为2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）将f（x）=x转化为ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有实根，则有△_x≥0恒成立求解；

解答 解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x²-x-4．
设x为其不动点，即2x²-x-4=x．
则2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．
由已知，此方程有实根，△_x≥0恒成立，
即b²-4a（b-2）≥0．
即b²-4ab+8a≥0对任意b∈R恒成立．
∴△_b≤0．，
∴16a²-32a≤0，
∴0≤a≤2．

点评 本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．