【题目】已知函数f(x)=ax+ 的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[ ,1]上的值域.
【答案】
(1)解:∵f(x)的图象过A(1,1)、B(2,﹣1),
∴ ,解得
,
∴
(2)证明:设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(﹣x1+ )﹣(﹣x2+
)
=(x2﹣x1)+ =
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+2>0.
由x1<x2得,x2﹣x1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数 在(0,+∞)上为减函数
(3)解:由(2)知,函数 在[
,1]上为减函数,
∴f(x)min=f(1)=1, ,
∴f(x)的值域是
【解析】(1)将点A、B的坐标代入解析式列出方程,求出a、b的值,即可求出f(x);(2)利用定义法证明函数单调性步骤:取值、作差、变形、定号、下结论进行证明;(3)由(2)判断f(x)在[ ,1]上的单调性,由单调性求出最值,即可得到f(x)的值域.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,左准线方程为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线交椭圆
于
,
两点.
①若直线经过椭圆
的左焦点
,交
轴于点
,且满足
,
.求证:
为定值;
②若(
为原点),求
面积的取值范围.
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【题目】已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若f(x)﹣2f( )≤k恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知函数f(xt)=xt2+bxt .
(1)若b=2,且xt=log2t,t∈[ ,2],求f(xt)的最大值;
(2)当y=f(xt)与y=f(f(xt))有相同的值域时,求b的取值范围.
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【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的右焦点坐标为
,求
的值;
(2)由椭圆上不同三点构成三角形称为椭圆的内接三角形.若以
为直角顶点的椭圆
的内接等腰直角三角形恰有三个,求
的取值范围.
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【题目】已知,直线
:
,椭圆
:
,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
,
两点,
,
的重心分别为
,
,若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】对于无穷数列,记
,若数列
满足:“存在
,使得只要
(
且
),必有
”,则称数列
具有性质
.
(Ⅰ)若数列满足
判断数列
是否具有性质
?是否具有性质
?
(Ⅱ)求证:“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件;
(Ⅲ)已知是各项为正整数的数列,且
既具有性质
,又具有性质
,求证:存在整数
,使得
是等差数列.
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