Question

3．已知S_n为公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，得${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，利用等差数列前n项和公式求出首项和公差，由此能求出a_n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，由此利用裂项法能求出数列{b_n}的前n项．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n为公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴由已知，得${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，
即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，
整理得 $2{a_1}d={d^2}$，
又由a₁=1，d≠0，解得d=2，
故a_n=1+（n-1）×2=2n-1．n∈N^*．
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和：
$\begin{array}{l}{T_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}\end{array}$
=$\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$，n∈N^*．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．