Question

18．求函数f（x）=$\sqrt{12+{2}^{x}-{4}^{x}}$的单调区间．

Answer 1

分析 利用换元法，结合一元二次函数和复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答 解：设t=12+2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
由t=12+2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$≥0，
则（2^x-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{49}{4}$，
即$-\frac{7}{2}$≤2^x-$\frac{1}{2}$≤$\frac{7}{2}$，
即即-3≤2^x≤4，
即x≤2，
由2^x=$\frac{1}{2}$得x=-1，
则当x≤-1时，2^x≤$\frac{1}{2}$，此时函数t=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$为增函数，则y=$\sqrt{t}$为增函数，此时函数f（x）为增函数，
即函数的单调递增区间为（-∞，-1]，
则当-1≤x≤2时，2^x≥$\frac{1}{2}$，此时函数t=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$为减函数，则y=$\sqrt{t}$为增函数，此时函数f（x）为减函数，
即函数的单调递减区间为[-1，2]．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．