Question

如图，矩形ABCD与正三角形APD中，AD=2，DC=1，E为AD的中点，现将正三角形APD沿AD折起，得到四棱锥P-ABCD，该四棱锥的三视图如下：

（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求异面直线BE，PD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中的三视图，我们可以判断出四棱锥P-ABCD的底面是长为2，宽为1的矩形，高为

2

，代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD，由三角形的中位线定理可得DE∥BO，DE=BO，进而可得OD∥BE，则∠PDO即为异面直线BE，PD所成角，解三角形即可得到答案．
（III）作CH⊥PD于H，连接EH，CE，我们可以得到∠EHC为二面角A-PD-C的平面角，解△CEH，即可得到二面角A-PD-C的正弦值．

解答：解：（I）由三视图可知四棱锥的高为

2

，
∴V=

1

3

•

2

•2•1=

2 2

3

（Ⅱ）由题意可知，P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD
在矩形ABCD中，DE∥BO，且DE=BO∴OD∥BE，且OD=BE
∵异面直面BE，PD所成角等于PD于DO的所成角
∵PO⊥平面ABCD且PO=

2

∴∠POD=90°
又∵DC=CO=1，∠DCO=90°∴DO=

2

∴∠PDO=45°
∴异面直线BE，PD所成角的大小为45°
（Ⅲ）作CH⊥PD于H，连接EH，CE

∵ED=CO=1，PE=PC= 3 ，DE=DC=1 ∴△PDE≌△PDC∴∠EDH=∠CDH

又∵DE=DC，DH=DH
∴△EDH≌△CDH
∴∠EHD=∠CHD=90°，CH=EH=

DC•PC

PD

=

1• 3

2

=

3

2

∴EH⊥PD∴∠EHC为二面角A-PD-C的平面角
在△CEH中，cos∠EHC=

CH2+EH2-CE2

2CH•EH

=-

1

3

∵∠EHC∈[0，π]∴sin∠EHC=

2 2

3

∴二面角A-PD-C的正弦值为

2 2

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，由三视图求体积，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是由三视图分析出几何体的形状及棱长，高等关键几何量，（2）的关键是构造∠PDO即为异面直线BE，PD所成角，（3）的关键是找到二面角A-PD-C的平面角∠EHC．