Question

【题目】已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于， 两点，交此抛物线于， 两点，其中， 在第一象限， ， 在第二象限.

(1)求该抛物线的方程；

(2)是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方程为 （2）存在满足要求的直线，其方程为或

【解析】试题分析：（1）圆方程可化为可化为 圆心的坐标为， 抛物线的方程为；（2）由等差数列性质可得

，再由， ， 存在满足要求的直线，其方程为或.

试题解析：

（1）可化为，

根据已知抛物线的方程为（）.

∵圆心的坐标为，∴，解得.

∴抛物线的方程为.

（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，∴.

∴.

由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，

设， ，

由，得， ，

故， .

∵

∴

由，解得.

∴存在满足要求的直线，其方程为或