Question

（2008•崇明县一模）已知：函数f_n（x）（n∈N^*）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+

1

x

，并且当n＞1且n∈N^*时，满足fn(x)-fn-1(x)=xn+

1

xn

．
（1）求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1，2，3时，分别研究函数f_n（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．
【第（3）小题将根据你所提出问题的质量，以及解决所提出问题的情况进行分层评分】

Answer 1

分析：（1）利用累加法直接求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1当n=1，2，3时，分别利用双勾函数，平方，求出函数f₁（x），f₂（x），f₃（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，求出第一类，结论一：f₄（x）单调性与值域；结论二：f₅（x）的单调性与值域；第二类问题，结论三、当x＞0时，函数f_n（x）的单调性与值域；结论四、当x＜0且n为奇数时，结论五、当x＜0且n为偶数时，函数f_n（x）的单调性与值域；通过数列求和，利用函数的单调性的定义证明即可…

解答：解：（1）由于

f2(x)-f1(x)=x2+ 1 x2 f3(x)-f2(x)=x3+ 1 x3 … fn(x)-fn-1(x)=xn+ 1 xn

；                           （2分）
所以fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

；                  （4分）
（2）（每小题结论正确（1分），证明（1分），共6分）
当n=1时，f1(x)=x+1+

1

x

，易证函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
单调递减区间为（-1，0），（0，1）；值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
当n=2时，f2(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

f2(x)=(x+

1

x

+

1

2

)2-

5

4

，易证函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞；单位递减区间为（-∞，-1），（0，1）；因此函数在（-∞，0）值域为[f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域为[5，+∞）
因此函数f2(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

值域为[1，+∞）
当n=3时，f3(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+x3+

1

x3

=f₂（x）+x3+

1

x3

易证f₂（x）、x3+

1

x3

，在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以f3(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+x3+

1

x3

在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
由于f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

=(

1-x4

1-x

)(1+

1

x3

)-1，用定义易证f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

在（-∞，-1）单调递增，在（-1，0）上单调递减．f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

的值域为（-∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：
第一类问题
结论一、f4(x)=x4+x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
结论二、f5(x)=x5+x4+x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

+

1

x5

单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
；单调递减区间为（0，1），（-1，0），值域为（-∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及评分说明：解法与f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

类同，结论分2分，证明正确得2分，共4分；
第二类问题
结论三、当x＞0时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，值域为[2n+1，+∞）
 结论四、当x＜0且n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0）单调递减，在（-∞，-1）单调递增；值域为（-∞，-1]；
结论五、当x＜0且n为偶数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-∞，-1）单调递减，在（-1，0）单调递增；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：结论三的单调性证明可以用数学归纳法完成；即；x＞0时．
①当n=1时，f1(x)=x+1+

1

x

，用定义易证函数在（0，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；计算得值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
 ②设函数fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

（n∈N^*）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）
上单调递增；计算得值域为[2n+1，+∞）
 则f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+

1

xn+1

，对于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
=fn(x2)-fn(x1)+

x

n+1 2

+

1

x n+1 2

-

x

n+1 1

-

1

x n+1 1

 
=fn(x2)-fn(x1)+(

x

n+1 2

-

x

n+1 1

)(1-

1

x n+1 1 x n+1 2

)，易证函数f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+

1

xn+1

在（0，1）
单调递减，在（1，+∞）上单调递增；值域为[2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得结论成立．
结论四及结论五的证明，可以先求和，后用定义进行证明，即：fn(x)=(

1-xn+1

1-x

)×(1+

1

xn

)-1，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=

( x n+1 2 - x n+1 1 )( 1 x n 1 x n 2 -1)+( x n 2 - x n 1 )(x2x1- 1 x n+1 1 x n+1 2 )

(1-x1)(1-x2)

，容易获得结论的证明．
解法及评分说明：结论分3分，证明正确得3分，共6分；
第三类问题
结论六：当n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0），（0，1）
单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
结论七：当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）
；值域为[1，+∞）；
结论八：当n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0），（0，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：解法与第二类问题类同．结论分4分，求解正确得4分，共8分．

点评：本题是开放性问题，通过研究基本函数的单调性，类比到其它的情况，考查分类讨论的思想，函数的单调性的基本证明方法，转化思想的应用，数列求和的应用，难度大，综合性强，多作为压轴题目，竞赛试题出现．