Question

15．四面体A-BCD各面都是边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的全等三角形，则该四面体的体积为2，顶点A到底面BCD的距离为$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 可将四面体A-BCD放到对角线长分别是$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的长方体中，长方体的棱长分别为1，2，3，求出四面体的体积，求出△BCD的面积，利用体积公式求出顶点A到底面BCD的距离．

解答 解：由题意，∵四面体A-BCD各面都是边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，
∴可将四面体A-BCD放到对角线长分别是$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的长方体中，长方体的棱长分别为1，2，3，
∴四面体的体积为1×2×3-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×3$=2；
不妨设BC=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{13}$，∴cosB=$\frac{5+10-13}{2\sqrt{5}×\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{50}}$，
∴sinB=$\frac{7}{\sqrt{50}}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}•\sqrt{5}•\sqrt{10}•\frac{7}{\sqrt{50}}$=$\frac{7}{2}$，
∴顶点A到底面BCD的距离为$\frac{6}{\frac{7}{2}}$=$\frac{12}{7}$．
故答案为：2，$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查四面体的体积，顶点A到底面BCD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．