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已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)设直线l的斜率为k,当线段AB的长等于5时,求k的值.
(3)求抛物线y2=4x上一点P到直线2x-y+4=0的距离的最小值.并求此时点P的坐标.
分析:(1)设A(x1,y1),则|AF|=x1+
p
2
,求出x1,代入y2=4x,即可求点A的坐标;
(2)直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,利用|AB|=x1+x2+p=5,即可求k的值.
(3)设P(x,y),求出P到直线2x-y+4=0的距离,利用配方法求最值.
解答:解:由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)|AF|=x1+
p
2
,从而x1=4-1=3.代入y2=4x,得y=±2
3

所以点A为(3,2
3
)或(3,-2
3

(2)直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0(*),
因为直线与抛物线相交于A、B两点,则k≠0,
设其两根为x1,x2,则x1+x2=2+
4
k2

由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+
4
k2
=5,解得k=±2;
(3)设P(x,y),则P到直线2x-y+4=0距离为d=
|2x-y+4|
5
=
|
y2
2
-y+4|
5
=
|
1
2
(y-1)2+
7
2
|
5

∴y=1时,P到直线2x-y+4=0距离的最小值为
7
5
10
,此时P(0.25,1).
点评:本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查点到直线的距离的运用,考查配方法,正确运用点到直线的距离公式是关键.
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