【题目】如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD, , .
(1)当 时,求证:BM∥平面ADEF;
(2)若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为 时,求λ的值.
【答案】
(1)证明:取DE中点N,连结MN,AN,
当λ= 时,M为EC中点,又N是DE中点,
∴MN∥CD,MN= .
∵AB∥CD,AB= ,
∴AB∥MN,AB=MN.
∴四边形ABMN是平行四边形,
∴BM∥AN,∵AN平面ADEF,BM平面ADEF,
∴BM∥平面ADEF
(2)证明:以D为坐标原点建立空间坐标系如图:
则 为平面ABF的一个法向量, .
, =(0,4λ,2﹣2λ).
设 =(x,y,z)为平面BDM的一个法向量,
则 ,令z=1,得 =( , ,1).
∴cos< >= = =﹣ .
解得 (舍)或λ= .
【解析】(1)取DE中点N,连结MN,AN,则由中位线定理可得BM∥AN,从而BM∥平面ADEF;(2)建立空间坐标系,求出平面ABF和平面BDM的法向量,根据法向量夹角与二面角的关系列方程解出λ.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin(2x﹣)
B.y=sin(2x﹣)
C.y=sin(x﹣)
D.y=sin(x﹣)
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【题目】为了了解初三女生身高情况,某中学对初三女生身高情况进行了一次测量,所得数据整理后列出了频率分布表如下:
组别 | 频数 | 频率 |
145.5~149.5 | 1 | 0.02 |
149.5~153.5 | 4 | 0.08 |
153.5~157.5 | 20 | 0.40 |
157.5~161.5 | 15 | 0.30 |
161.5~165.5 | 8 | 0.16 |
165.5~169.5 | m | n |
合计 | M | N |
(1)求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少?
(2)画出频率分布直方图;
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点;
(I)求异面直线A1B,AC1所成角的余弦值;
(II)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值.
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【题目】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.有无数条
B.有2条
C.有1条
D.不存在
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2.
(1)若E,F分别是PC,AD的中点,证明:EF∥平面PAB;
(2)若E是PC的中点,F是AD上的动点,问AF为何值时,EF⊥平面PBC.
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【题目】已知函数f(x)=2x﹣ . (Ⅰ)若f(x)=2,求x的值;
(Ⅱ)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点,左焦点为 ,且过D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,点A(1,0),求线段PA中点M的轨迹方程.
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