Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行变形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间；
（2）要使f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，只要x∈[0，

π

6

]时f（x）_max＜m+2即可．

解答：解：（1）f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

-2x）-

3

cos2x
=1-sin2x-

3

cos2x
=1-2sin（2x+

π

3

），
故最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，

π

6

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，则sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
则f（x）∈[-1，1-

3

]，即f（x）在[0，

π

6

]上的值域为[-1，1-

3

]．
因为f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，所以m+2＞1-

3

，
解得m＞-1-

3

．
所以实数m的取值范围为（-1-

3

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题及三角函数的周期性、单调性，函数恒成立问题往往需要转化为函数最值问题进行处理．