Question

20．数列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$所有项的和为2．

Answer 1

分析 先求出数列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．

解答 解：数列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$前n项和：
S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=2[1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ]，
∴数列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$所有项的和为：
S=$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}2[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．