Question

6．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A、B两点，P是l上满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1的点，则点P的轨迹方程$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．

Answer 1

分析 确定A，B的坐标，表示出向量，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，化简可得点P的轨迹方程．

解答 解：设P（x，y），则
∵动直线l垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A，B两点，
∴由方程x²+2y²=4，可得A，B的纵坐标为y=±$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$
∴A（x，$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$），B（x，-$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$）（-2＜x＜2）．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，
∴（0，$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$-y）•（0，-$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$-y）=1
∴$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$
∴点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．
故答案为：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．