Question

已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．

Answer 1

如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．
∵BD⊥AC，
∴EF⊥HC．
∵GC⊥平面ABCD，
∴EF⊥GC，
∴EF⊥平面HCG．
∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．
∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，
∴AC=4

2

，HO=

2

，HC=3

2

．
∴在Rt△HCG中，HG=

(3 2 )2+22= 22

．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴OK=

HO?GC

HG

=

2 ×2

22

=

2 11

11

．
即点B到平面EFG的距离为

2 11

11

．