Question

如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，BC=2，CC′=

2

．
（1）求证：A′C⊥BC′；
（2）请在线段CC′上确定一点P，使直线A′P与平面A′BC所成角的正弦等于

3

5

．

Answer 1

分析：（1）取B′C′的中点E，以BC中点O为坐标原点，OC，OE，OA分别为x，y，z轴．用坐标表示向量，利用数量积为0得证；
（2）设P（1，a，0），则

A/P

=(1，a-

2

，-

3

)，再设平面A′BC的法向量，进而可用夹角公式可求．

解答：证明：（1）由题意，取B′C′的中点E，以BC中点O为坐标原点，OC，OE，OA分别为x，y，z轴．
则A/(0，

2

，

3

)，C(1，0，0)，B(-1，0，0)，C/(1，

2

，0)
∴

A/C

=(1，-

2

，-

3

)，

BC/

=(2，

2

，0)
∴

A/C

•

BC/

=0
∴A′C⊥BC′；
（2）设P（1，a，0），则

A/P

=(1，a-

2

，-

3

)
设平面A′BC的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

n • BC =0 n • A/B =0

，∴

n

=(0，

3

，-

2

)
∴cos＜

n

，

A/P

＞=

3

5

∴a=

5 2 - 26

4

即C′P=

5 2 - 26

4

．

点评：本题以正三棱柱为载体，考查线线垂直，考查线面角，关键是构建空间直角坐标系，利用空间向量求解．