Question

5．某研究机构对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：

记忆能力x	4	6	8	10
识图能力y	3	﹡﹡﹡	6	8

由于某些原因，识图能力的一个数据丢失，但已知识图能力样本平均值是5.5．
（Ⅰ）求丢失的数据；
（Ⅱ）经过分析，知道记忆能力x和识图能力y之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III）若某一学生记忆能力值为12，请你预测他的识图能力值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设丢失的数据为m，依题意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，即可求丢失的数据；
（Ⅱ）用最小二乘法求出回归系数，即可求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III） 由（Ⅱ）得，当x=12时，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$，即可预测他的识图能力值．

解答 解：（Ⅰ）设丢失的数据为m，依题意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，解得m=5，
即丢失的数据值是5．（2分）
（Ⅱ）由表中的数据得：$\overline{x}=\frac{4+6+8+10}{4}=7$，$\overline{y}=5.5$，（4分）$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=4×3+6×5+8×6+10×8=170$，（5分）$\sum_{i=1}^4{x_i^2}={4^2}+{6^2}+{8^2}+{10^2}=216$．（6分）$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-4\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\bar x}^2}}}}=\frac{170-4×7×5.5}{{216-4×{7^2}}}=\frac{4}{5}=0.8$，（8分）$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=5.5-0.8×7=-0.1$，（9分）
所以所求线性回归方程为$\hat y=0.8x-0.1$．（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得，当x=12时，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$（11分）
即记忆能力值为12，预测他的识图能力值是9.5．                       （12分）

点评 本题考查线性回归方程，解题的关键是理解并掌握求回归直线方程中参数a，b的值的方法，及求解的步骤．