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4.己知圆0:x2+y2=4和点A(1,0),B(-1,0),过点A的动直线l与圆O相交于M,N两点,设$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$.
(1)求点P的轨迹方程:
(2)求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的最大值与最小值.

分析 (1)设直线l的方程为x=my+1,代入圆0:x2+y2=4,利用韦达定理,结合$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$求点P的轨迹方程:
(2)求出$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$,即可得到最大值与最小值.

解答 解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),则
设直线l的方程为x=my+1,代入圆0:x2+y2=4,整理可得(1+m2)y2+2my-3=0,
∴y1+y2=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$,y1y2=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$
∴x1+x2=$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$,
∵$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$,
∴(x+1,y)=(x1+1,y1)+(x2+1,y2),
∴x=x1+x2+1=$\frac{2}{1+{m}^{2}}$,y=y1+y2=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$,
∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1;
(2)$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=(x1+1,y1)•(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=-$\frac{4{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$,
∴m=0取得最大值0,无最小值.

点评 本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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