Question

观察下列表格，探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的性质，

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间

（2，+∞）

上递增．
当x=

2

时，y_最小=

4

．
（2）证明：函数f(x)=x+

4

x

在区间（0，2）递减．
（3）函数f(x)=x+

4

x

(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析：（1）根据表格可求得函数的单调区间，根据单调性可求得最小值；
（2）直接利用单调性的定义进行证明即可；
（3）根据（1）可得函数的最值，然后根据奇函数的性质可得结论．

解答：解：（1）根据表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以x=2时，f（x）有最小值f（2）=4；
（2）证明：设2＞x₂＞x₁＞0，则f（x₂）-f （x₁）=（x₂+

4

x2

）-（x₁+

4

x1

）=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＞x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₂）-f （x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，2）上单调递减；
（3）由（1）知，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
f（x）在∈（0，+∞）的最小值为f（2）=4，
又f（x）=x+

4

x

为奇函数，所以x＜0时，f（x）有最大值f（-2）=-4．
故答案为：（2，+∞），2，4．

点评：本题主要考查函数单调性的性质及其证明，以及函数的奇偶性的应用，同时考查了分析问题的能力，属中档题．