Question

已知函数f（x）=x|x-2m|，设-2＜m＜0，记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x））（k∈N^*），则函数y=f₂₀₁₄（x）的零点个数为（　　）

• A、2
• B、3
• C、2014
• D、2015

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先求f（x）=x|x-2m|=0的解，利用数学归纳法证明．

解答： 解：∵f（x）=x|x-2m|=0的解只有两个 x=0 或x=2m，
∴对于f_k+1（x）=0，f_k（x）=0 或者 f_k（x）=2m，
假设数列{a_n}对应的就是f_n（x）=0的解，
设f_k（x）=2m的解个数为r，
那么就有 a_n+1=a_n+r，
对应f_k（x）=2m的交点所在的函数图象部分恰好是单调的，解的个数是1个．
∴a_n+1=a_n+1是一个等差数列．
∴f_n（x）=0的解个数就是 n+1个；
故函数y=f₂₀₁₄（x）的零点个数为2014+1=2015个，
故选：D．

点评：本题考查了用数学归纳法证明的方法，函数的零点的个数的判断要说明单调性，属于中档题．