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    【题目】设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，右焦点为，已知．

    （1）证明：．

    （2）已知直线的倾斜角为，设为椭圆上不同于，的一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交于点，过且垂直于的直线交轴于点，若，求直线的方程．

    【答案】（1）见解析（2）y（x﹣2）．

    【解析】

    （1）直接由得， 的关系，再由，，的关系证得结论；

    （2）由直线的倾斜角可得，的关系，再由（1）可得椭圆的标准方程，写出，，的坐标及线段的中垂线方程，设直线，求出的坐标，由题意求出的坐标，再由得直线的方程．

    解：（1）证明：因为，所以，即，两边平方得：，而，

    ；

    （2）因为直线的倾斜角为，所以，，又由（1）得：，，

    解得：，，，所以椭圆的方程为：；所以可得：，，

    ，设的坐标，设直线，线段的中垂线为，

    所以由题意得，，直线的方程：，令得点坐标，

    联立直线与椭圆的方程，整理得：，，

    即，，所以点，，，，

    因为，，解得：，

    所以直线的方程为：．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

    某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

    性别

    选考方案确定情况

    物理

    化学

    生物

    历史

    地理

    政治

    男生

    选考方案确定的有8人

    8

    8

    4

    2

    1

    1

    选考方案待确定的有6人

    4

    3

    0

    1

    0

    0

    女生

    选考方案确定的有10人

    8

    9

    6

    3

    3

    1

    选考方案待确定的有6人

    5

    4

    1

    0

    0

    1

    （1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

    （2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；

    （3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表：

    （Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；

    （Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；

    （Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如图甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量，随机记录了天的库区日消失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）.

    （1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；

    （2）以频率作为概率，试解决如下问题：

    ①分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率；

    ②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按天计算），说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．

    （1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；

    （2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）

    A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的

    C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程

    （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

    （2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】过椭圆上一点作两条直线，与椭圆另交于，点，设它们的斜率分别为，．

    （1）若，，求的面积；

    （2）若，，求直线的方程．

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