Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，得到关于首项和公比的方程组，根据{a_n}是各项均为正数求出方程组的解，即可得到首项和公比的值，根据首项与公比写出等比数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通项公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化简得到数列{b_n}的通项公式，列举出数列{b_n}的各项，分别根据等比数列及等差数列的前n项和的公式即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1，由已知得：

a1+a1q=2( 1 a1 + 1 a1q )  a1q2+a1q3 =32( 1 a1q2 + 1 a1q3 )

，
化简得：

a12q(q+1)=2(q+1) a12q5 (q+1)=32(q+1)

，即

a12q=2 a12q5=32

，
又a₁＞0，q＞0，解得：

a1=1 q=2

，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1）
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

4n-1

4-1

+

n(n-1)

2

=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．