Question

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同学在研究此函数时给出以下命题：
①函数f（x）的值域为[-1，1]；     
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③对任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 则 fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述命题中正确的是

②③

．（请将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用奇函数的定义判断出f（x）为奇函数，通过对x的分段讨论去掉绝对值转化为分段函数，讨论x≥0的值域、单调性判断，由此可得结论．

解答：解：①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数
∵f(x)=

x

1+|x|

= 

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
∴函数f（x）的值域为f（x）∈（-1，1），故①不正确；
②当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)为增函数，
∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数，∴f（x在（-1，1）上为增函数
故②正确；
③对任意的x₁，x₂∈R，当x₁=x₂时，存在x₀=x₁，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
当x₁≠x₂时，不妨设x₁＜x₂，
∵f（x在（-1，1）上为增函数，f（x₁）+f（x₂）＜2f（x₂），∴f（x₀）＜f（x₂），
∵f（x在（-1，1）上为增函数，∴x₀＜x₂，∴存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立，故③正确；
④f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

=

x

1+nx

不恒成立，故④不正确；
综上知，命题中正确的是：②③
故答案为：②③

点评：本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法加以判断，综合性强．