Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（II）当-2+

3

≤k≤0时，求折痕长的最大值；
（Ⅲ）当-2≤k≤-1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|²-1），试求t的最大值．

Answer 1

分析：（1）分情况讨论斜率表示直线的方程
（2）表示出线段后，分类讨论求最值
（3）表示线段，用均值不等式求最值

解答：解：（1）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有k_OG•k=-1⇒

1

a

•k=-1⇒a=-k
故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标
（线段OG的中点）为M(-

k

2

，

1

2

)
折痕所在的直线方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx+

k2

2

+

1

2

（2）当k=0时，折痕的长为2；
当-2+

3

≤k＜0时，折痕直线交BC于点P(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y轴于Q(0，

k2+1

2

)
∵|PQ|2=22+[

k2+1

2

-(2k+

k2

2

+

1

2

)]2=4+4k2≤4+4(7-4

3

)=32-16

3

∴折痕长度的最大值为

32-16 3

=

4(8-4 3 )

=

4( 6 - 2 ) 2

=2(

6

-

2

) 
而2(

6

-

2

)＞2
故折痕长度的最大值为2(

6

-

2

)  
（3）当-2≤k≤-1时，折痕直线交DC于P(

1

2k

-

k

2

，1)，交x轴于Q(-

k2+1

2k

，0)
∵|PQ|2=[-

k2+1

2k

-(

1

2k

-

k

2

)]2+1=

1

k2

+1
∴t=k(2|PQ|2-1)=k+

2

k

∵-2≤k≤-1
∴k+

2

k

≤-2

2

（当且仅当k=-

2

∈(-2，-1)时取“=”号）
∴当k=-

2

时，t取最大值，t的最大值是-2

2

．

点评：本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数形结合和分类讨论思想，属难题