已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
分析:(I)求出f(x)的导函数,令导函数在x=-1处的值为0求出a,将a的值代入导函数,令导函数等于0求出两个根,将两个根代入f(x)求出两个函数值,再求出区间的两个端点对应的函数值,从中选出最大值与最小值.
(II)求出f(x)的导函数,将已知条件的单调性转化为不等式恒成立,结合二次函数的图象,从区间的端点值的符号,对称轴与区间的关系及判别式加以限制,列出不等式组,求出a的范围.
解答:解:(I)f′(x)=3x
2-2ax-4
,f′(-1)=0解得a=∴f′(x)=(3x-4)(x+1)
令f′(x)=0得x=
,x=-1
∵f(-1)=
,f()=-,f(-4)=-54,f(4)=42
∴f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值分别是42,-54
(II)f′(x)≥0对一切x∈(-∞,-2]及[2,+∞)均成立,
∴
或△≤0
解得-2≤a≤2
点评:求函数在闭区间上的最值问题,一般先利用导数求出函数的极值,再求出闭区间的两个端点对应的函数值,从中选出最值.