精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
分析:(I)求出f(x)的导函数,令导函数在x=-1处的值为0求出a,将a的值代入导函数,令导函数等于0求出两个根,将两个根代入f(x)求出两个函数值,再求出区间的两个端点对应的函数值,从中选出最大值与最小值.
(II)求出f(x)的导函数,将已知条件的单调性转化为不等式恒成立,结合二次函数的图象,从区间的端点值的符号,对称轴与区间的关系及判别式加以限制,列出不等式组,求出a的范围.
解答:解:(I)f′(x)=3x2-2ax-4,f′(-1)=0解得a=
1
2

∴f′(x)=(3x-4)(x+1)
令f′(x)=0得x=
4
3
,x=-1
∵f(-1)=
9
2
,f(
4
3
)=-
50
27
,f(-4)=-54,f(4)=42
∴f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值分别是42,-54
(II)f′(x)≥0对一切x∈(-∞,-2]及[2,+∞)均成立,
f′(-2)≥0
f′(2)≥0
-2≤
a
3
≤2
△≥0
或△≤0
解得-2≤a≤2
点评:求函数在闭区间上的最值问题,一般先利用导数求出函数的极值,再求出闭区间的两个端点对应的函数值,从中选出最值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a为实数,f(x)=x3-ax2-9x.
(1)求导数f'(x);
(2)若f'(-1)=0,求f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值;
(3)若f(x)在[-1,1]上是递减的,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a为实数,f(x)=x3-ax2-4x+4a,
(1)求f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),f′(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均单调递增,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导数f′(x);
(2)若f'(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案