Question

10．已知命题p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，命题q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，可得a≤（x²）_min．命题q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，可得△≥0．再根据命题“p∧q”为真命题，即可得出．

解答 解：命题p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，∴a≤（x²）_min=1．
命题q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，∴△=${a}^{2}-4×\frac{1}{4}×（2-a）$≥0，解得a≥1或a≤-2．
若命题“p∧q”为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥1或a≤-2}\end{array}\right.$，
解得a=1或a≤-2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]∪{1}．

点评 本题考查了简易逻辑的性质、函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．