Question

【题目】已知函数 ，g（x）=x2eax（a＜0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R， ． 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	（﹣1，1）	（1，+∞）
f'（x）	﹣	+	﹣
f（x）	↘	↗	↘

所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），
单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
（Ⅱ）依题意，“对于任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”
等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．
由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
因为f（0）=1， ，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．
所以应满足g（x）max≤1．
因为g（x）=x2eax ， 所以g'（x）=（ax2+2x）eax ．
因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0， ．
（ⅰ）当 ，即﹣1≤a＜0时，
在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，
所以函数 ．
由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．
（ⅱ）当 ，即a＜﹣1时，
在 上g'（x）≥0，在 上g'（x）＜0，
所以函数g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．
由 得， ，所以a＜﹣1．
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．