定义在R上的偶函数y=f(x)满足:
①对任意x∈R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立;
②f(0)=-1;
③当x∈(-1,0)时,都有f′(x)<0.
若方程f(x)=0在区间[a,3]上恰有3个不同实根,则实数a的取值范围是________.
(-3,-1]
分析:由已知中定义在R上的偶函数y=f(x)满足:①对任意x∈R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立;②f(0)=-1;我们易判断出函数为周期函数,及其零点的分布情况,然后根据方程f(x)=0在区间[a,3]上恰有3个不同实根,易求出实数a的取值范围.
解答:∵函数y=f(x)为偶函数,即f(1)=f(-1),
令x=-1,又由对任意x∈R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立;
则f(1)=f(-1)+f(1),故f(1)=f(-1)=0,
则f(x+2)=f(x)即函数是一个以2为周期的周期函数,
又∵当x∈(-1,0)时,都有f′(x)<0.
故只有(2K+1,0)(k∈Z)为函数的零点,
若方程f(x)=0在区间[a,3]上恰有3个不同实根,
则三个实根分别为3,1,-1,
故a∈(-3,-1],
故答案为:(-3,-1].
点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据已知条件分析函数的性质,进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键.