Question

（2009•淄博一模）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）=x²，若对任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A．[

  2

  ，+∞)
• B．(-∞，-

  2

  ]
• C．[4+3

  2

  ，+∞)
• D．(-∞-

  2

  ，]∪[4+3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：先确定函数的单调性，再化抽象不等式为具体不等式，从而可得实数t的取值范围．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）=x²
∴当x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≥0) -x2，(x＜0)

∴对任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]，函数为增函数
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x）
∴不等式f（x+t）≤2f（x）等价于不等式f（x+t）≤f（

2

x）
∴

-2- 2 ≤x+t≤2+ 2 -2- 2 ≤ 2 x≤2+ 2 x+t≤ 2 x

∴

-2- 2 -x≤t≤2+ 2 -x - 2 -1≤x≤ 2 +1 t≤( 2 -1)x

∴t≤-

2

故选B．

点评：本题考查函数单调性的应用，考查利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为（x+t）≤f（

2

x）是解题的关键．