Question

在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y²=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义及横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．可求得p，则抛物线方程可得．
（2）设圆心C的坐标为(

y 2 0

4

，y0)，半径为r，根据圆心C在y轴上截得的弦长为4表示出r和y₀的关系，代入圆的方程，根据对于任意的y₀∈R，方程均成立进而得到关于x和y的方程组，求得x和y，进而推断圆C过定点．

解答：解：（1）依题意，得：

p

2

+4=5，∴p=2．
抛物线标准方程为：y²=4x
（2）设圆心C的坐标为(

y 2 0

4

，y0)，半径为r．
∵圆心C在y轴上截得的弦长为4∴r2=4+(

y 2 0

4

)2
圆心C的方程为：(x-

y 2 0

4

)2+(y-y0)2=4+(

y 2 0

4

)2
从而变为：(1-

x

2

)

y

2 0

-2yy0+(x2+y2-4)=0①
对于任意的y₀∈R，方程①均成立．
故有：

1- x 2 =0 -2y=0 x2+y2=4

解得：

x=2 y=0

所以，圆C过定点（2，0）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．