Question

．（本小题满分14分）

                      已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲

线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	2	4
		0	4

                      （Ⅰ）求的标准方程；

                      （Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满

足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个

点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求      ………………3分

 

                        设：，把点（2，0）（，）代入得：

                             解得

∴方程为  ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）法一：

假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为

，

                        由消去，得…………………………9分

                        ∴     ①

                   ②      ………………………10分

                      由，即，得

将①②代入（*）式，得， 解得  …………………13分

所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………14分

法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………7分

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与

的交点坐标为

由消掉，得 ，  …………9分

于是 ，    ①

即   ② ………………………………11分

由，即，得

将①、②代入（*）式，得  ，解得；……13分

所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………14分

 

【解析】略