Question

11．已知空间向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$，若存在实数组（x₁，y₁，z₁）和（x₂，y₂，z₂），满足$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow{b}$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow{b}$+z₂$\overrightarrow{c}$，且x₁≠x₂．试证明向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面．

Answer 1

分析 由已知可得：$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{b}$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，由于x₁≠x₂，可得$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，即可证明．

解答 证明：∵存在实数组（x₁，y₁，z₁）和（x₂，y₂，z₂），满足$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow{b}$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow{b}$+z₂$\overrightarrow{c}$，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{b}$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，
∵x₁≠x₂，
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面．

点评 本题考查了向量的线性运算、向量共面定理，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．