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已知f(x)=(x∈R),P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函数y=f(x)图象上两点,且线段P1P2中点P的横坐标是

(1)求证:点P的纵坐标是定值;

(2)若数列{an}的通项公式是an=f()(m∈N*,n=1,2,…m),求数列{an}的前m项和Sm;

(3)在(2)的条件下,若m∈N*时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.

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  解:(1)由


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已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若函数f(x)的导函数满足:当|x|≤1时,有恒成立,求函数f(x)的解析表达式;

(3)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b=,证明:不可能垂直.

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已知f(x)=(x∈R),在区间[-1,1]上是增函数.

(1)求实数a的值组成的集合A;

(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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已知f(x)=x+1,若f(x+1)的图象关于直线x=2对称图象对应的函数为g(x),则g(x)为( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单调递增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依题意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)设切点为(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切线过点A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.

∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2

画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范围是(-6,2).

 

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