Question

已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx+2cos²x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[

π

2

，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可求得f（x）=

3

2

+

2

2

sin（2x+

π

4

），从而可求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）由x∈[

π

2

，π]，得到（2x+

π

4

）的范围进一步求函数值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+sinxcosx+2cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
因为y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

.2kπ+

π

2

]，
所以令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]；
（II）因为x∈[

π

2

，π]，所以2x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]，sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
所以函数f（x）的值域为：[

3

2

-

2

2

，2]．

点评：本题考查了三角函数恒等式的化简以及三角函数的性质的运用，首先要正确化简三角函数式为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后解答相关知识．