Question

（1）已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n，求证数列{a_n}成等差数列．
（2）已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，求证

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差数列．

Answer 1

分析：（1）先利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

求出数列{a_n}的通项公式a_n，再利用等差数列的定义或根据求出的通项公式即可证明；
（2）利用等差数列的定义或等差中项的意义即可证明．

解答：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=3-2=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
n=1时，亦满足，∴a_n=6n-5（n∈N^*）．
首项a₁=1，a_n-a_n-1=6n-5-[6（n-1）-5]=6（常数）（n∈N^*），
∴数列{a_n}成等差数列且a₁=1，公差为6．
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

化简得2ac=b（a+c）．
∴

b+c

a

+

a+b

c

=

bc+c2+a2+ab

ac

=

2ac+a2+c2

ac

=

(a+c)2

ac

=

(a+c)2

b(a+c) 2

=

2(a+c)

b

．
∴

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差数列．

点评：熟练掌握利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

求出数列{a_n}的通项公式a_n、等差数列的定义及通项公式、等差中项是解题的关键．