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已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n2+数学公式an
(1)证明:an+1+an=4n+2;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设f(n)=(数学公式)(数学公式)..(数学公式数学公式,求证:f(n+1)<f(n)对一切n∈N×都成立.

解:(1)∵Sn=n2+an.①
∴Sn+1=(n+1)2+an+1.②
∴②-①得:an+1+an=4n+2;
(2)∵an+1+an=4n+2;
∴an+1-2(n+1)=-(an-2n)=…=(-1)n(a1-2);
又a1=2
∴an=2n
(3)∵f(n)=(1-)(1-)(1-)…(1-

∴f(n+1)<f(n)对一切n∈N×都成立.
分析:(1)由Sn=n2+an.可得到Sn+1=(n+1)2+an+1.两式作差即可.
(2)由an+1+an=4n+2变形转化为an+1-2(n+1)=-(an-2n)=…=(-1)n(a1-2)求解.
(3)由(2)将f(n)=(1-)(1-)(1-)…(1-化简,再用作商法比较证明其单调性.
点评:本题主要考查了数列的通项与前n项和间的关系,其通项公式的求法以及数列单调性的证明,同时,还考查了转化思想和运算能力,分析问题的能力,属中档题.
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