Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N^*）.证明：对任意n≥1，a_n=［3ⁿ+（-1）^n-1·2ⁿ］+（-1）ⁿ·2ⁿa₀.

Answer 1

分析：所要证的等式是一个与正整数n有关的命题，而题设所给的条件又是一种递推关系，所以可以考虑用数学归纳法证明.

证明：（1）当n=1时，左边=右边，即

a₁=1-2a₀等式成立.

（2）假设当n=k（k≥1）等式成立，即

a_k=［3^k+（-1）^k-1·2^k］+（-1）^k·2^ka₀，那么n=k+1时，a_k+1=3^k-2a_k=3^k-2×［3^k+（-1）^k-1·2^k］-（-1）^k·2^k+1·a₀

=［3^k+1+（-1）^k2^k+1］+（-1）^k+1·2^k+1·a₀，即n=k+1时等式成立.

由（1）（2）可知，对任意n∈N^*原式成立.