Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD ，M为棱PB的中点． （Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG， 由题意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD=BD= ，PD⊥BD，M为PB的中点，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，
∴DM⊥平面PDC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0， ），M（ ），
设平面ADM的法向量 ，
则 ，
取y ，得 ，
同理，设平面ADM的法向量 ，
则 ，
取 ，得 （ ），
cos＜ ＞=﹣ ，
∵二面角A﹣DM﹣C的平面角是钝角，
∴二面角A﹣DM﹣C的余弦值为﹣ ．
【解析】（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由已知条件推导出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能证明DM⊥平面SDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DM﹣C的余弦值．