Question

已知函数f（x）和g（x）的定义域都是实数集R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．且当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

A．（-∞，-2）∪（0，2）

B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（2）=0可求得答案．

解答：解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0，
故f（x）g（x）在x＜0时递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．
∵f（-2）g（-2）=0，
∴f（2）g（2）=0，
所以f（x）g（x）＜0的解集为：{x|0＜x＜2或x＜-2}，
故选A．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，属于中档题．