Question

函数f（x）对任意实数x均有f（x+2）=kf（x），其中k为已知的正常数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）求f（x）在[-2，2]上的表达式，并写出函数f（x）在-2，2上的单调区间（不需证明）；
（3）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值，并求出相应的自变量的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+2）=kf（x），进行赋值，即可求f（-1），f（2.5）的值；
（2）设-2≤x＜0，利用f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2），f（x+2）=kf（x），可求函数解析式，根据函数解析式，可得函数的单调区间；
（3）由函数f（x）在[-2，2]上的单调性知，f（x）在x=-1或x=1处取得极小值，分类讨论，即可求得函数的最小值．

解答：解：（1）∵f（x+2）=kf（x），∴f（-1）=

1

k

f（-1+2）=

1

k

f（1）=-

1

k

，
f（2.5）=f（0.5+2）=kf（0.5）=k×

1

2

×（

1

2

-2）=-

3

4

k；
（2）设-2≤x＜0，则0≤x+2＜2．
∵f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2），
∴f（x+2）=x（x+2），
∵f（x+2）=kf（x），∴kf（x）=x（x+2）
∴f（x）=

1

k

x（x+2）
∴f（x）=

1 k x(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x≤2

∵k＞0，根据二次函数的图象得f（x0的减区间为[-2，-1]，[0，1]，增区间为[-1，0]，[1，2]
（3）由函数f（x）在[-2，2]上的单调性知，f（x）在x=-1或x=1处取得极小值．f（-1）=-

1

k

，f（1）=-1．
故有：①当-

1

k

＞-1，即k＞1时，f（x）在x=1处取得最小值-1，
②当-

1

k

=-1，即k=1时，f（x）在x=±1处都取得最小值-1．
③当-

1

k

＜-1，即0＜k＜1时，f（x）在x=-1处取得最小值-

1

k

．

点评：本题考查函数的性质，考查函数的单调性，考查函数最值的讨论，考查学生分析解决问题的能力．