Question

平面上有两个向量e₁=(1,0),e₂=(0,1),今有动点P从P₀(-1,2)开始沿着与向量e₁+e₂相同的方向做匀速直线运动,速度为|e₁+e₂|；另一动点Q从点Q₀(-2,-1)出发,沿着与向量3e₁+2e₂相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e₁+2e₂|.设P、Q在时刻t=0秒时分别在P₀、Q₀处,则当⊥时,用了多长时间?

Answer 1

思路解析:此题考查两向量垂直的充要条件及向量的坐标运算,新颖之处在于与物理中的运动联系在一起.由题意知,向量是确定的,动点P、Q分别沿e₁+e₂、3e₁+2e₂的方向匀速运动,写出时刻t时点P、Q的位置,用t表示.根据⊥的充要条件建立方程,可求出t的值.

解:由已知P₀(-1,2),Q₀(-2,-1)可得=(-1,-3),

∵3e₁+2e₂=(3,2),

∴|3e₁+2e₂|=.

∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).

∴=(-1+2t,-3+t).

∵⊥,∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.

解得t=2,

∴用了2秒钟, ⊥.