Question

已知x+y=-1，且x，y都是负数，求xy+

1

xy

的最值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质xy=t∈(0，

1

4

]，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵x+y=-1，且x，y都是负数，
∴1=（-x）+（-y）≥2

(-x)(-y)

，化为xy≤

1

4

，当且仅当x=y=-

1

2

时取等号．
令xy=t∈(0，

1

4

]
则xy+

1

xy

=t+

1

t

=f（t）．
f′（t）=1-

1

t2

＜0，因此函数f（t）在t∈(0，

1

4

]单调递减，
∴f（t）≥f(

1

4

)=

17

4

．
∴xy+

1

xy

的最小值为

17

4

，而无最大值．

点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．