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    A组：已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的离心率e=
    2
    		3
    3
    ，一条渐近线方程为y=
    		3
    3
    x    ．
    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，
    		2
    ）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
    B组：已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的离心率e=
    2
    		3
    3
    ，一条渐近线方程为y=
    		3
    3
    x    ．
    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，
    		2
    ）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
    OA
    •
    OB
    =2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．
    分析：A（1）由题设知
    c
    a
    =
    2
    		3
    3
    b
    a
    =
    		3
    3
    c2=a2+b2
    ，由此能求出双曲线C的方程．
    （2）设直线l的方程为y=x+
    		2
    ，联立
    y=x+
    		2
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1
    ，得4x2+6
    		2
    x    -3=0，再由弦长公式能求出|AB|．
    B（1）由题设知
    c
    a
    =
    2
    		3
    3
    b
    a
    =
    		3
    3
    c2=a2+b2
    ，由此能求出双曲线C的方程．
    （2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+
    		2
    ，联立
    y=kx+
    		2
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（3k2+1）x2+6
    		2
    kx    -3=0，由
    OA
    •
    OB
    =2，得k2=-
    1
    5
    ．不成立．故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
    OA
    •
    OB
    =2．
    解答：解：A（1）∵双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的离心率e=
    2
    		3
    3
    ，
    一条渐近线方程为y=
    		3
    3
    x    ，
    ∴
    c
    a
    =
    2
    		3
    3
    b
    a
    =
    		3
    3
    c2=a2+b2
    ，解得a2=9，b2=3，
    ∴双曲线C的方程为
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）过点（0，
    		2
    ）倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+
    		2
    ，
    联立
    y=x+
    		2
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1
    ，得4x2+6
    		2
    x    -3=0，
    △=（6
    		2
    ）2+4×4×3=120，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
    3
    		2
    2
    ，x1x2=-
    3
    4
    ，k=tan45°=1，
    ∴|AB|=
    		2[(-
    3
    		2
    2
    )2-4×(-
    3
    4
    )]
    =
    		15
    ．
    BA（1）∵双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的离心率e=
    2
    		3
    3
    ，
    一条渐近线方程为y=
    		3
    3
    x    ，
    ∴
    c
    a
    =
    2
    		3
    3
    b
    a
    =
    		3
    3
    c2=a2+b2
    ，解得a2=9，b2=3，
    ∴双曲线C的方程为
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+
    		2
    ，
    联立
    y=kx+
    		2
    x2
    9
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（3k2+1）x2+6
    		2
    kx    -3=0，
    ∵直线l与双曲线c有两个不同交点A和B，
    ∴△=（6
    		2
    k）2+4×（3k2+1）×3＞0，k∈R．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
    6
    		2
    k
    3k2+1
    ，x1x2=-
    3
    3k2+1
    ，
    y1y2=（kx1+
    		2
    ）（kx2+
    		2
    ）=k2x1x2+
    		2
    k    （x1+x2）+2
    =-
    3k2
    3k2+1
    -
    12k2
    3k2+1
    +2
    =
    2-9k2
    3k2+1
    ．
    ∵
    OA
    •
    OB
    =2，
    ∴x1x2+y1y2=-
    3
    3k2+1
    +
    2-9k2
    3k2+1
    =
    -1-9k2
    3k2+1
    =2，
    整理，得k2=-
    1
    5
    ．不成立．
    故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
    OA
    •
    OB
    =2．
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查直线是否存在的判断．综合性强，难度大，在一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
    （Ⅰ）求证：PF⊥l；
    （Ⅱ）若|PF|=
    		2
    ，且双曲线的离心率e=
    		3
    ，求该双曲线的方程；
    （Ⅲ）若过点A（2，1）的直线与（Ⅱ）中的双曲线交于两点P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程．

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    x2
    a2
    -
    y2
    2
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    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
    B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

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    A组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
    B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
    （1）求双曲线C的方程
    （2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

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