Question

设函数，.
（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数、的值；
（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）当，时，求函数在区间上的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）从条件“曲线与在它们的交点处有相同的切线”得到以及，从而列有关、的二元方程组，从而求出与的值；（2）将代入函数的解析式，利用导数分析函数在区间上的单调性，确定函数在区间上是单峰函数后，然后对函数的端点值与峰值进行限制，列不等式组解出的取值范围；（3）将，代入函数的解析式，并求出函数的单调区间，对函数的极值点是否在区间内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数在区间上的最小值.
试题解析：（1）因为，，所以，.
因为曲线与在它们的交点处有相同切线，
所以，且，
即,且，解得，；
（2）当时，，
所以，
令，解得，，
当变化时，、的变化情况如下表：

	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
故在区间内单调递增，在区间内单调递减.
从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，
即，解得.
所以实数的取值范围是.
（3）当，时，．
所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．
由于，，所以．
①当，即时， ；
②当时，；
③当时，在区间上单调递增，；
综上可知，函数在区间上的最小值为
.