Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$-2．
 （1）求f（x）的定义域；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析 （1）由分母x≠0，求出函数的定义域即可；（2）首先，任设两个变量，然后，作差比较，最后，得到结论．

解答 解：（1）由分母x≠0，得函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
（2）任设x₁，x₂∈（0，+∞），
且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-2-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）
=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）=$\frac{1}{x}$-2在（0，+∞）上是减函数．

点评 本题主要考查函数的定义域问题，单调性的定义，借助于函数单调性定义求解时，一定要注意所取的自变量的任意性，属于基础题．