Question

【题目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集为A,其中a∈N*,k∈N.

(1)求A.

(2)设f(k)表示A中自然数个数,求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).

(3)当a=2时,比较Sn与n2+n的大小,并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】分析：(1)利用对数函数的单调性，转化为不等式组，解之即可;

(2)由（1）明确f(k)表示A中自然数个数，累加求和即可；

（3）先用特例猜想二者大小，然后用数学归纳法证明.

详解：(1)不等式同解于

，

由③,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-1≤0.

∵a≥2,∴ak-1<ak.

∴ak-1≤x≤ak,且该式满足①,②.

∴A={x|ak-1≤x≤ak}.

(2)由题意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+(a2-a+1)+…+(an-an-1+1)=an+n-1.

(3)当a=2时,Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.

当n=1时,S1=12+1;

当n=2时,S2<22+2;

当n=3时,S3<32+3;

当n=4时,S4<42+4;

当n=5时,S5>52+5.

猜想当n≥5(n∈N)时,Sn>n2+n.

下面用数学归纳法证明:

①当n=5时,已验证.

②假设当n=k(k≥5)时,Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,则当n=k+1时,Sk+1-[(k+1)2+(k+1)]=2k+1-(k+1)2-1=2×2k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>[(k+1)2+(k+1)],∴当n=k+1时结论成立.

根据①②可知,对任何n≥5(n∈N*),都有Sn>n2+n成立.

综上所述,当n=1时,Sn=n2+n;当n=2,3,4时,Sn<n2+n;当n≥5(n∈N*)时,Sn>n2+n.