Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA=PC，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°；

（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求AB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD⊥AC，PD⊥AC，BD∩PD=D，

∴AC⊥面PBD，

又AC面PAC，所以 面PAC⊥面PBD，

即平面平面PBD⊥平面PAC

（2）解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），

令A（1，0，0），则B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

又∠PDB为二面角P﹣AC﹣B的平面角，得∠PDB=60°，

设DP=λ，则P（0， ， λ），

设 =（x，y，z）为面PAC的法向量，则 =（﹣2，0，0）， =（﹣1， ， λ），

得 取y= ，得 =（0， ，﹣1），

又 =（﹣1， ，0）得 cos＜ ， ＞= ，

∴AB与平面PAC所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）证明AC⊥面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB与平面PAC所成角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．